音楽プレーヤでどれかの曲がリピートされる可能性

【1月11日特記】　何度か書いているように、僕は SONY の携帯音楽プレーヤに戦後の日本の POPS（あんまり POP = popular でなかった、つまり、流行らなかったものも含む）を多数取り込んでランダムに聴いている。今日現在の収録数は 1,524曲である。

で、聴いていると、「あれ、この曲はこないだ聴いたばかりなのに」ということが時々ある。

それで、確率的には一体何曲に１回の割合で一度かかった曲がまたかかるのだろう、と思っていたら、ちょうど今読んでいる『数学の秘密の本棚』（イアン・スチュアート著）という本に答えが載っていた。

ただし、その前にちょっと確認しなければならないことがある。それは一概に「シャッフル・モード」と言ってもいろんな形があるので、自分のプレーヤがどんなルールで再生されているのかを確かめる必要があるということである。

「シャッフル」というのはトランプのカードを切るように混ぜることである。だから、語の正しい意味に従うとすれば、曲を再生する前にリストをシャッフルし、その順番に従って全曲を再生しているはずである。

もし、そのルールに則っているのであれば、例えば 1,000曲入っていたとした場合、1,000曲目までは重複がないはずである。

しかし、「シャッフル・モード」という名前がついていながら、実は１曲ずつ再生する際にランダムに選んでいるという可能性もある。その場合は２曲続けて同じ曲になる可能性もある。

で、僕の Network Walkman がどちらのタイプかと言うと、残念ながらそんな説明はどこにも書いてないので判らないのである。ただ、聴いている感じとしては、少なくとも最初にシャッフルしたリストに従って延々と順番に違う曲をかけているのではなさそうである。

短いインターバルで同じ曲が出てくることがあるということは、多分シャッフルして何曲か再生をしても、一旦電源を落とすとそのリストも無効になり、次にシャッフル・モードで再生するときはまたリストがシャッフルされているのではないだろうか？

そして、もしそうでないとすると、単純に１曲ずつランダムに選んでいるはずである。しかし、１回につき何曲か連続して聴いている中で同じ曲が繰り返したという経験はまだない。

となると、やっぱりリストをシャッフルして再生し、電源が切られるとそのリストは無効になるという形になっている可能性が高いと自分では推理しているのだが、面倒くさいのでここは１曲ずつランダムに選んでいるとする。

で、能書きが長くなったのでいきなり結論を書くが、n曲が入っている音楽プレーヤで、どれかの曲をリピートさせるのに再生しなければならない平均の曲数の近似式は、

(0.5Π)^0.5*n^0.5

となるらしい。この場合「どれかの曲がリピートされる」可能性であり、最初の曲とは限っていない。

分数とルート記号が正確に書けないので「0.5乗」という表現になっていて分かりにくいのだが、要するにΠ=3.1415...を２で割ったものの平方根と n の平方根を掛け合わせた値である。前半部分を計算してしまうと「1.2533×ルート n 」ということになる。

ここに n=1524 を代入すると、平均49曲目で同じ曲が出てくるということになる。

ずいぶん早いものである。自分の経験に照らすとあまり実感がない。やっぱりこの方式で再生されているのではないということなのだろうか？